问：判断函数一致连续性的几种方法
- 答：摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念，目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理，通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法，以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用，使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化。
关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法
弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键。数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理，为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握，作为对教材内容的适当扩充和补充，我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法。 - 答：充分性：假设f在(a,b)上连续且f(a+)和f(b-)存在且有限，定义f(a)=f(a+),f(b)=f(b-)，在(a,b)内f(x)=f(x)则f(x)在【a，b】上连续，因此一致连续，显然f(x)在（a，b）上也一致连续，因此f在(a,b)上一致连续。
必要性：假设f在(a,b)上一致连续，则显然f在(a,b)上连续。
由于f在(a,b)上一致连续，因此，任取ε>0，存在δ>0。|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<ε。取x1，x2∈（a，a+δ）时有，|f(x1)-f(x2)|<ε，根据极限存在法则（柯西准则）可知f(a+)存在。同理可知f(b-)存在
问：函数连续和一致连续的区别，一致连续的几何意义是什么
- 答：区别：
1、范围不同
连续是局部性质,一般只对单点，而一致连续是整体性质，要对定义域上的某个子集。
2、连续性不同
一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。如果一个函数具有一致连续性则一定具有连续性，而函数具有连续性并不一定具有一致连续性。
3、图像区别
闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的；在开区间连续的未必一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的却有可能出现，比如在（0，1）上连续的函数y=1/x。
一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可。
函数f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是 在[a,b]上连续。
函数f(x)在[a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续且f(b-)存在。
扩展资料
如图
在|x1-x2|< ζ范围内，这两点之间对应的f(x)满足，|f(x1)-f(x2)|<ε，就表明它是一致连续的，也就是说在|x1-x2|< ζ 它的图像要尽量平缓，不能有太大幅度的波动，就是一致连续的，如果这个区间上有一点超过了ε，就不是一致连续了。
比如在上图中，(x1,x2)之间内是一致连续的，而在(x1,x2+1)上就不一致连续。 - 答：函数一致连续性的几何意义体现在哪里?
如果说非一致连续性函数的斜率会有趋近于无穷的一段即会很”陡”,那么一致连续函数根号x在很接近于0时图象也极其”陡”,所以请教各路高手一致连续函数究竟有什么区别于非一致连续函数的几何意义?
“很陡”强调的是“突变”,比如圆的斜率是非常非常“平滑”,也有斜率为“无穷”的时候,关键要抛开直角坐标系的限制来思考.假如在一个巨大的空间,自己爬行在曲线上测量斜率,那么斜率的“突变”会引起极大关注,一旦需要攀登陡峭的悬崖,自然说这里不光滑,就是不连续了
还要注意，一致连续的话，图像一定是平滑的，即里面处处可导 - 答：我觉得形象一点粗俗一点来讲，不一致连续，就是太陡了。函数上有两个点，x-x'已经非常非常小，但y-y'还是非常非常大，说明这两个点还是离得很远，就相当于这两个点还是断开的，没有一致连续。
问：如何讨论函数的连续性
- 答：确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。
连续函数的性质：
① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0)也在 x= α处 连续。
② 如f(x)在x=α处连续，且f(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不变号，即f(x)与f(α)同号。
③ 在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。
扩展资料：
还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。
设I为一闭或开的区间，如果任给ε>0，必有δ＞0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理 - 答：这个是数学大纲解析的习题呢~解这一类的题，其实有个套路，就是先通过求极限将f(x)的表达式求出来就可以解啦~~步骤如下：
1、先求lim(1-x^2n/1+x^2n)x ，（n->∞）:
f(x)= 0 ， 当 x=0 或 x=±1
x , 当 0≤x＜1 或 x＜-1
-x ， 当 -1＜x≤0 或 x＞ 1 （共3种情况）
2、接着我们来找间断点：
通过上述的区间我们看出，“关键的点”有三个：0、1、-1；
(1)先看0：通过上面的区间可以看出，limf(0)=limf(x) (x->0+)=limf(x) (x->0-)
所以f(x)在（-1，1）都是连续的，0不是间断点；
(2)再看1：f(1)=0 , limf(x)(x->1-)=x=1 , limf(x)(x->1+)=-x=-1
f(1)≠limf(x)(x->1-)≠limf(x)(x->1+);所以x=1为第一类间断点;
(3)同理，-1：f(-1)=0 , limf(x)(x->-1-)=x=-1 , limf(x)(x->-1+)=-x=1
f(-1)≠limf(x)(x->-1-)≠limf(x)(x->-1+);所以x=-1为第一类间断点;
3、结论：x=1和x=-1是第一类间断点；f(x)的连续区间为(-∞,-1)、(-1,1)、(1,+∞) 如果对你有帮助，请给有用哦，谢谢 - 答：左右极限等于该点函数值，函数在x=0点连续。
